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新领域——算数动力学,数论与动力系统的结合

来源:水动力学研究与进展 【在线投稿】 栏目:综合新闻 时间:2021-04-18
  • 算术动力学利用数论中的对象(如椭圆曲线)和动态系统中的对象(如朱利亚集合)之间的相似性,对这两者产生新的见解。

数学家约翰·米尔诺研究课题是一个叫做复杂动力学的领域,而布朗大学的数学家西尔弗曼对这个领域知之甚少。但是,当西尔弗曼了解了一些复杂动力学的基本概念后,他发现,这与数论领域具有惊人的相似性。

乍一看,这两者就像是数学中不相关的分支。但西尔弗曼认识到,它们在某种特定的方面相互补充。数论寻找的是数字序列的模式,而动力系统实际上产生的是数字序列(就像在有规律的时间间隔内定义行星在空间中的位置的序列)。当数学家们寻找隐藏在这些序列中的数字理论模式时,两者就会合并。

经过几十年的研究,数学家们戏剧性地加强了数学两个分支(动力系统与数论)之间的联系,并建立了一个全新的领域,即算术动力学。

这个领域的范围还在继续扩大。在去年发表在《数学年鉴》上的一篇论文中,三位数学家将数论与动力系统的联系发展到了一个全新的高度。这样,他们解决了数论中一个存在了几十年的问题的一部分,这个问题以前似乎与动力系统没有任何明确的联系。

新的证明量化了一种曲线在周围空间中与特殊点相交的次数。数论学家以前想知道,对于交集的数量是否有上限。证明的作者利用算术动力学证明了某一特定曲线集合有一个上限值。

曲线运动

2010年5月,一群数学家聚集在巴巴多斯的一个小型研究机构讨论数学。这是算术动力学发展的关键时刻。它汇集了数论专家,比如西尔弗曼,以及动力系统专家,比如德马科和克里格。他们的目标是,通过进一步挖掘这两个领域的联系来解决更多的问题。

他们的出发点是数论的中心对象之一,椭圆曲线。就像圆和线一样,椭圆曲线既是数字又是形状。它们是一对数字(x和y),可以作为一个代数方程的解,比如 y^2 = x^3 ? 2x。这些解的图形创建了一个几何形状,看起来有点像一条垂直的线挤出了一个气泡。

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  • 椭圆曲线,椭圆曲线具有丰富的结构。它们是数论研究的一个重要对象。

数学家们一直对量化和分类这些曲线的各种性质很感兴趣。到目前为止,最著名的是安德鲁·怀尔斯在1994年对费马大定理的著名证明,这是一个关于哪些方程的解是整数的问题。这个证明很大程度上依赖于对椭圆曲线的研究。一般来说,数学家们关注椭圆曲线,是因为它们即不是微不足道不值得研究,也不是难到无法研究。

佐治亚理工学院的数学家马特·贝克说:

椭圆曲线仍然非常神秘,它们一直在产生新的数学结果。

数学家们对椭圆曲线上的点特别感兴趣,这些点在曲线上以一种特殊的方式移动。在椭圆曲线上,你可以用标准加法将点彼此相加,但这种方法不是很有用,因为和不太可能是曲线上的另一个点。

但是椭圆曲线有一个特殊的内部结构,它创造了一种不同类型的算术。这种结构称为群,使用其自包含的算术规则将点相加的结果是完全不同的。如果你根据群结构在椭圆曲线上加两点,和总是曲线上的第三点。如果你无限次重复这个过程,结果就是无限多的点都在椭圆曲线上。(关于群论的更多细节,可以阅读这篇文章:由浅入深,轻松理解抽象代数的重要分支——群论 )

不同的起点会产生不同的序列。“大本营点(home base)”是具有非常独特属性的起点。如果你反复地把这些点相加,它不会产生无限的新点序列。相反,它创建了一个循环,最终回到开始时的点。

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  • 扭转点,当一个扭转点被反复加到自身上时,结果最终会回到起始点。

这些产生循环的特殊起始点称为扭转点。他们是数字理论家们最感兴趣的。它们也与动力系统的某一特定类型的点有惊人的对应关系,正是这种对应关系真正让算术动力学成为可能。

重复模式

动力系统经常被用来描述现实世界的现象,根据一个重复的规则向前移动,就像一个球根据牛顿定律的反弹。将一个初始值插入到一个函数中,然后得到一个输出,这个输出将成为新的输入。

一些最有趣的动力系统是由像 f(x) = x^2 ? 1